几种傅立叶变换
- 连续时间周期信号:处理时间连续并且具有周期性的信号，其频域上离散，非周期。
- 连续时间非周期信号:处理时间连续但是不具有周期性的信号，其频域上连续，非周期。
- 离散时间非周期信号:处理时间离散，不具有周期性的信号，其频域上连续，有周期性。
- 离散时间周期信号:处理时间离散，具有周期性的信号，对应离散时间傅里叶变换其频域上离散，有周期性。
关于时域是否离散与频域周期性的关系
为什么时域离散，频域周期，时域连续，频域非周期呢？
如果你的频域是离散的，那么就有一个最小的分辨频率，这个自然对应了时域的最大波长，即时域的周期性。
反之同理。如果你的时域是离散的，那就有一个最小的波长。这个波长就对应频域的最高频率。所有高于这个频率的信息，都要被alias、反褶到低频去。即频域的周期性。
离散时间傅立叶变换
离散时间傅里叶变换（英语：Discrete-time Fourier Transform，简称：DTFT）是傅里叶变换的一种。它将以离散时间nT（其中，T为采样间隔）作为变量的函数（离散时间信号）变换到连续的频域，即产生这个离散时间信号的连续频谱，值得注意的是这一频谱是周期的，周期为$2\pi$。
离散傅立叶变换
理解
从理论上来说，上述四种变换基本囊括我们能遇到的信号种类。但是在数字信号处理里面，我们接触的都是离散时间的信号，所以前两种连续时间的傅里叶变换用不到。
剩下的两种变换中，DFT与离散时间周期信号的变换非常类似，有何原因？
在数字信号处理中，信号是要交给计算机进行处理的，这其中涉及到对数字信号的进行处理交给计算机以及计算机的算法设计，对于一般的离散时间信号而言，从数学上直接用DTFT会非常利于分析信号的频域特征，但问题是目前的机器不能表达一个无限长的序列，也不能表达连续的频域特征。因此我们才需要DFT，也就是说DTFT是给人用的，而DFT是给机器用的。DFT相较于DTFT，主要有两处不同，一点是变无限为有限，是因为机器无法表示无限长的序列，只能处理有限长序列。另一点是频域采样，关于采样，是理解DFT的重点。
频域采样
我们前面提到离散非周期序列的傅里叶变换(DTFT)在频域上是连续的，这连续的频域特征机器是无法表达的，因此我们需要对它进行采样。又由于频域上具有周期性，只需要对2pi长度的区间采样即可。那么应该采多少个点呢？类似于Nyquist采样定理的做法，我们得出采样的点数M≥N即可(N表示该序列的长度)，为了方便起见只需取M=N。由此，DFT的两个引入动机就清楚了:它是对无限长序列截断成有限长序列，进行DTFT以后再在频域采样。那么为何DFT的形式和离散时间周期信号的傅里叶变换形式类似呢？注意到，有限长序列经过周期延拓即可变为周期信号，因此他们之间的相似性也不言而喻了。不过需要注意的是DFT对有限长序列均可以用，但离散时间周期信号的傅里叶变换只能处理周期信号，这是本质的不同。